Martingala y la falacia del jugador

No soy matemático, pero me defiendo. Una bonita rama de las matemáticas, incomprendida por mucha gente, es la de probabilidad. A veces nos dejamos llevar por lo que nuestra intuición nos dice, sin pararnos a analizar la realidad. Recientemente me he encontrado con un par de estos casos. El primero, una persona que decía haber encontrado un método para ganar dinero en la ruleta. Esa persona creía haber descubierto la Martingala. El otro, una cuestión de lotería y números.

La Martingala

El método de la Martingala, o de ir doblando, consiste en:

• Comenzamos apostando una cantidad pequeña a la ruleta, a un valor de 50%, por ejemplo apostamos por el rojo, de entre rojo y negro.
• Si sale rojo, ganamos 2€ (es decir, recuperamos lo puesto, y 1€ adicional). Volvemos a empezar el proceso, apostando desde 1€.
• Si sale negro, doblamos la apuesta previa, y volvemos a jugar. Por ejemplo, si apostamos 1€ y perdemos, apostamos 2€. Si ahora ganamos, habremos perdido 3€ en total, pero ganamos 4€, con lo que obtenemos una ganancia neta de 1€, y volvemos a empezar apostando 1€. Esto se repite mientras sigamos perdiendo, es decir, podemos apostar 1€, perder... 2€, perder... 4€, perder... 8€, perder... 16€, ganamos! hemos perdido 1+2+4+8+16 = 31€, pero ganamos 32€, con lo que nuevamente hemos obtenido una ganancia neta de 1€, y volvemos a empezar apostando.

Vamos a dejar de lado que en una ruleta, apostando a rojo/negro o par/impar, las probabilidades de ganar no son de 50%, sino de 48,6% teniendo en cuenta que el 0 gana siempre la banca, o 47,4% si también está el doble 0.

Suponiendo por tanto una  probabilidad de ganar del 50%, se pueden dar las siguientes jugadas:

• En la siguiente apuesta, siempre puede ocurrir, con un 50% de probabilidad, ganamos 1€ (acertamos la siguiente jugada, sea cual sea, y recuperamos todo lo perdido, y ganamos 1€ adicional)
• O bien,  puede ocurrir que perdamos, con un 50% de probabilidad, con lo que habremos perdido 1€.
  
• Existe una probabilidad de que perdamos de forma seguida varias apuestas. ¿Cuál es esta probabilidad? La probabilidad de que perdamos la primera apuesta, y además a continuación la segunda apuesta, es de 0,50 x 0,50 = 0,25 (25%). La probabilidad de perder 3 apuestas seguidas es de 0,50 x 0,50 x0,50 = 0,125 (12,5%), 4 jugadas 6,25%, etc.
• Sin embargo, el perder una serie continua de apuestas implica perder gran cantidad de dinero. Por ejemplo, perder 4 apuestas seguidas, supone perder 1+2+4+8 = 15€. En concreto, perder n apuestas nos hace perder 2ⁿ-1 € (que recuperaremos tras ganar en la siguiente apuesta).

Si tuviéramos una cantidad de dinero infinita, podríamos perder cualquier número seguido de apuestas. Al final acabaríamos ganando una apuesta, y recuperando lo perdido. Pero si tuviéramos dinero infinito, ¿para qué jugaríamos a la ruleta? Supongo que por vicio, no por hacernos ricos.

¿Cuál es entonces el problema de la Martingala? Pues básicamente, que no tenemos dinero infinito, y que existe un límite de apuesta. El límite de apuesta suele estar fijado por el casino, o bien puede ser una cantidad que nos fijamos nosotros mismos para no arruinarnos.

Supongamos que ese límite está en 50€, o no superar las 6 apuestas (1, 2, 4, 8, 16, 32... y en la apuesta 7 tendríamos que apostar 64€). Habremos perdido 63€. Pero... ¿cuál es la probabilidad de que superemos este límite?

Tendríamos que perder 6 apuestas seguidas. La probabilidad de perder 6 apuestas seguidas es 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,015625, o un 1,5625%, o dicho de otra forma... 1 entre 64.

Vamos a definir una jugada como una serie consecutiva de apuestas que acaban con una apuesta ganadora, y por tanto recuperando todo lo apostado, y ganando 1€ adicional (jugada ganadora) o bien perdiendo 6 apuestas seguidas, y por tanto perdiendo 63€ (jugada perdedora).

Para cada jugada, puede ocurrir las siguientes cosas:

• Con una probabilidad de 50%, será una jugada ganadora (ganamos a la primera)
• Con un 25% de probabilidad será una jugada ganadora (ganamos a la segunda)
• Con un 12,5% de probabilidad será una jugada ganadora (a la tercera)
• Con un 6,25% será jugada ganadora (a la cuarta)
• Con un 3,125% será jugada ganadora (a la quinta)
• Con un 1,5625 será jugada ganadora (a la sexta)
• Con un 1,5625 será jugada perdedora, hemos perdido 6 veces seguidas, y habremos perdido 63€.

Si sumamos todas las probabilidades, tenemos el 100%, es decir, si comenzamos una jugada, ésta va a acabar en uno de los casos citados con esa probabilidad. Parece muy difícil llegar al caso de perder 63€, sólo hay un 1,5625% de probabilidades. Esto es, una posibilidad entre 64. ¿Pero, y si ocurre? Tendríamos que hacer 63 jugadas ganadoras solamente para recuperar todo el dinero perdido (cada jugada ganadora nos aporta 1€). A la jugada ganadora número 64, habríamos recuperado todo lo perdido, y tendríamos 1€ adicional. Pero... la probabilidad nos dice que una de cada 64 jugadas va a ser perdedora.. Es decir, estadísticamente de cada 64 jugadas, 63 serán jugadas ganadoras (con las que ingresaremos 63€) y 1 será jugada perdedora (con la que perderemos 63€).

¿Conclusión? Ni ganamos ni perdemos. Aunque a corto plazo obtendremos ganancias, tarde o temprano la mala suerte nos traerá una jugada perdedora que nos hará perder todo lo ganado.

Matemáticamente, si multiplicamos la ganancia de cada jugada, por la probabilidad de que ésta jugada suceda (las 6 primeras suman 1€, la última resta 63€), tendríamos:

+ (0,5 x 1)
+ (0,25 x 1)
+ (0,125 x 1)
+ (0,0625 x 1)
+ (0,03125 x 1)
+ (0,015625 x 1)
- (0,015625 x 63)
= 0

Hay que tener en cuenta además que si partimos de una apuesta pequeña, la ganancia es muy pequeña. Si partimos de una apuesta grande, el crecimiento exponencial nos hace llegar rápido al límite de apuesta. Por ejemplo, empezando por 5€, la secuencia es: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ... (recordad la fábula del tablero de ajedrez y los granos de arroz).

Existen variantes de esta técnica, pero para todas son aplicables los mismos resultados.

Si añadimos a esto que las probabilidades no son del 50%, sino que benefician a la banca, como hemos explicado antes, el método de la Martingala nos llevará a medio/largo plazo a perder dinero. Obviamente, si este método funcionara, seguramente no estaría permitido en los casinos.

Otra cosa son los métodos estadísticos utilizados por los famosos Pelayo. Estas personas se dedicaban a observar y recopilar estadísticas de los números que salían en la ruleta. Aunque la teoría nos dice que todos los números tienen las mismas probabilidades de salir, la realidad es que las ruletas sufren ligeras imperfecciones, y pueden existir números o zonas de la ruleta en las que la bola puede terminar con una probabilidad ligeramente superior. Analizando estas tendencias, y disponiendo de una buena cantidad de dinero y mucha paciencia, a la larga la probabilidad nos dice que acabaremos ganando.

Jugar siempre el mismo número a la lotería

El otro caso que voy a discutir es la llamada falacia del jugador. Ésta consiste en que si hemos jugado a la lotería con un número, y nos toca, la próxima vez que juguemos sería conveniente elegir otro número, bajo la falsa creencia de que es más difícil que vuelta a salir el mismo número.

Efectivamente, depende como se plantee el enunciado, es más difícil que salga nuevamente el mismo número a que salga cualquier otro número. Si en la lotería hay 80.000 bolas.

•  Las probabilidades de que toque el número que llevamos, por ejemplo el número 12.345, es de una entre 80.000.
• La probabilidad de que toque cualquier otro número es de 79.999 entre 80.000.
• La probabilidad de que toque nuestro número, el 12.345, y de que al año siguiente vuelva a tocar, es de 1 entre 80.000 al cuadrado, es decir, de 1 entre 6.400.000.000, una entre seis mil cuatrocientos millones.
• Sin embargo la probabilidad de que toque nuestro número, el 12.345, y de que al año siguiente toque cualquier otro, obviamente, es mucho más grande, en concreto de 1/80.000 x 79.999/80.000, aproximadamente una entre 80.001.

¿Esto quiere decir que si toca un número, no deberíamos repetirlo al año siguiente? No, totalmente falso. Aunque la probabilidad condicionada, es decir, que el mismo número salga dos veces seguidas, es muy baja, cada sorteo de la lotería es un suceso independiente. Eso quiere decir que en cada sorteo, cada número tiene exactamente las mismas probabilidades de salir, independientemente de lo que ocurriera en sorteos anteriores. Vamos a verlo con un ejemplo:

• Jugamos al 12.345, y toca. Al año siguiente, volvemos a jugar al mismo número. La probabilidad de que vuelva a salir el 12.45 es de 1 entre 6.400.000.000. Sin embargo, la posibilidad de que nos toque ese sorteo concreto era de 1 entre 80.000, exactamente igual que el sorteo del año pasado.
  
• Jugamos al 12.345 y toca. Al año siguiente cogemos un número cualquiera, distinto del 12.345. Por ejemplo, el número 33.333.  La probabilidad de que salga el 33.333 es de 1 entre 80.000. Y la probabilidad de que el año pasado hubiéramos ganado con el 12.345 era también de 1 entre 80.000. La probabilidad de que un año salga el 12.345, y el año siguiente justamente el 33.333, es también de 1 entre 80.000 al cuadrado, es decir, de 1 entre 6.400.000.000.

¿Cuál es la conclusión? Lo realmente difícil no es que salga dos veces el mismo número, sino que nos toque dos veces la lotería, independientemente del número con el que juguemos. Otras formas de verlo:

• Con tiradas de un dado, es igualmente probable que saquemos, por ejemplo, 6 seises seguidos (la secuencia 6, 6, 6, 6, 6, 6), que cualquier otra secuencia concreta de números (por ejemplo la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, 6). Cada tirada es independiente, y existe una probabilidad de 1/6 de acertar el número. Después de tirar y sacar un número, por ejemplo el 3, la probabilidad de que en la siguiente jugada salga un vuelve a ser 1/6.
• Lo mismo con tiradas de moneda. Cada tirada es independiente. Aunque lleve os una racha de 10 caras seguidas (cosa harto improbable), la siguiente tirada seguirá teniendo una probabilidad del 50% de que sea cara o cruz.

No debemos confundirnos con el teorema de los grandes números, que nos dice que si un suceso independiente, como un sorteo, o una tirada de moneda, se repita un número muy grande de veces, tendiendo a infinito, la cantidad de veces que aparece cada número (o cada cara o cruz) tenderá a ser igual. Esto no significa que si han salido muchas caras en la moneda, ahora hay más probabilidades de sacar cruz. Simplemente significa que esta racha de varias caras consecutivas se irá camuflando en la media total de caras cuantas más tiradas hagamos, tendiendo a ser del 50%. Esto sólo es válido cuando el número de repeticiones tiende a infinito.